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4面体を並べたもの(tetrahelix)とDNAとのねじれ具合の一致は偶然?

wammyによるテトラへリックス 2008/9/18追記

4面体をつないだ立体のねじれ具合が、DNAのねじれ具合と似ています。DNAは塩基対10個強で一周しています。DNAの場合どの塩基が並んでいるかによって、ねじれ具合も違ってくるはずなので、平均がそうなっているだけなのかも知れませんが、もしかして、つながりを決めている部分に4面体に相当する角度をもった2つの面にからなる構造があって、そうなるのでしょうか? あるいは、DNAの模式図を、4面体のつながりを参考に描いているだけで実際には塩基7個で一周したりもっと長い周期で一周したりという風に大きな誤差があるのでしょうか?

Excelを使ってちょこちょこと計算した結果、四面体の1辺の長さを1とすると、四面体が1つ増える毎に1/sqrt(10)立体が伸びることや、四面体1個ごとに131.8103149度回転することがわかりました。DNAが10.16060696塩基ごとに1周しているならば、同じ周期ということになります。また四面体のつながった立体の名前は、tetrahelixという名前の様です。(もしかしたら、バックミンスター・フラーによる命名?)

2006/11/4追記

外部リンク
塩基対です。 {実際平均値の36°中心に30〜43°の付近で交互にねじれ角が存在している}8塩基対から12塩基対で一周するくらいの幅があるのですね。結局偶然という結論かな。

2006/11/7追記

 

双五角錐(pentagonal dipyramid)をつないだ螺旋も同じくらいのねじれ角度です。模型を作ってみただけで、計算はしていません。上の写真で言えば、3重螺旋の内の2本の赤の螺旋の間の青いピースをはずして3本の線を足して、面を 2つ増やすみたいなことです。とげとげが出来るので、平らなところに置くと、磁石の力ではちょっと動かすと簡単に外れてしまいます。

外部リンク

双五角錐 - Wikipedia

ジョンソンの立体 - Wikipedia これらをすべて含む程度の面や点の数に限定して、凹も含めて、すべての面が正三角形の立体を網羅するプログラムを作ろうと思ったのですが、作り始めていないままです。

2006/11/28追記

今日も、テレビ見ながら、ジオマグ(マッドマグ、MOLI)をいじっていました。3重螺旋なら、端は4面体で自明なのですが、その先は両端を綺麗に閉じるのが難しそうです。2006/12/9

4重螺旋

5重螺旋

6重螺旋

7重螺旋

8重螺旋

9重螺旋は重みでつぶれてしまうので作るのが困難でした。

すべての面が正三角形の多面体の中で、面の数ごとに辺の長さが一定のときに体積が最大になるのはどんな多面体かなと思ったのですが、この問題なら答えが多すぎることも無く、何らかの意外な答えも見つかりそうな気もするのでプログラムを作って見る価値があるかなと思うのですが、とりあえず、手で考えてみるという感じで頂点が14(辺が44、面が24)のものまで作ってみました。最大かどうかはわかりません。

Wammy

このページではジオマグが頻出するのですが、土曜日にトイザらスに行ったらコクヨがWammyという玩具を出していました。これなら、立方体や正12面体でもつぶれることがありません。200ピース入りだったのですが下の写真では5ピース余っています。 2008/9/16追記

2006/12/9追記

関係ない画像追加

テトラへリックスをちょっと変化させると、ちぎれた輪ができました。ピースが足りなくてつながらないだけではなくて、位置がずれます。

正20面体の内側には平行な5角形の面が2つ含まれていますが、その2つの面で挟まった領域をどんどんつないでいます。屋根と地上階は、5角錐になっていますが、それ以外の階には5角錐はありませんが、しっかり自立します。テトラへリックスの塔がある以上、こういう形の塔があってもなんら不思議ではない気がします。平凡ではありますが。

カーボンナノチューブのジグザグ型の双対図形と言えそうなので、アームチェア型の双対図形も作ってみるべきでした。2007/5/15追記

さらに関係ない3倍の大きさの20面体。

2007/4/1追記

外部リンク

DNAのねじれ具合のわかる画像を探します。

 これもほぼ塩基10個
Gallery これもほぼ塩基10個 大きな画像です。2つの螺旋のずれは塩基4個分くらいです。
立体視のページ。これは11塩基です。
これも10塩基
これも10塩基
B Fuller Master Index: DNA-RNA この図だと、塩基と4面体の頂点が対応しているので、ねじれ具合が同じにはなりません。ATまたはGCの塩基対に対して4面体の頂点3つが対応しなければ ねじれ具合が一致しません。2006/11/4追記
画像ファイル "http://hexdome.com/models/magnetic/graphics/n_tetrahelix.jpg" は壊れているため、表示できませんでした。 http://hexdome.com/models/magnetic/ 同じようにジオマグでテトラへリックスを作っている人がいました。でも、DNAとの関係はでてきていない2006/11/4追記
水戸芸術館 磯崎新のシンボルタワーがテトラへリックスなんですね。 2006/11/4追記
 TETRAHELIX DATA 計算結果の131.8103149度で検索したら見つかりました。とても遅いサイトなので、全部は読んでいませんが。

関連ページ

教えて2 もともとここに書いていた古い疑問と関連しています。
格子状でない十字路網 ジオマグ(マッドマグ、、、)つながり
螺旋と渦巻き 書きかけ放置
“夢の素材”カーボンナノチューブ らせん型2種 選別成功…滋賀医大 経済 科学 ピックアップ 関西発 YOMIURI ONLINE(読売新聞) {カーボンナノチューブを作ると、炭素の環のつながり方でアームチェア型、ジグザグ型、らせん型の三つの構造ができる。らせん型は右巻きと左巻きが同じ割合で含まれ、これを分けて取り出す技術はなかった。} 2007/5/15追記
p5-8 この4ページの図に説明がありました。テトラへリックスと違って、6角形からなっているので、別の話ですが螺旋が出てくるのは似ていますね。というか、6角形の中心を、六角形の辺を横切る線で結ぶことにすれば、テトラへリックスと双対図形ですね。2007/5/15追記

作成 2006/11/1  - 更新 2008/09/18

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