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サイアス２０００／９のキャラメルの問題を解く

問１

１つ買うことで次の状態に変化する確率がｐの時、期待値1/p個のキャラメルを買うことで次の状態に変化する。

0種類から5種類揃いまでの5段階における状態変化の確率は、｛1,4/5,3/5,2/5,1/5｝なので、買うキャラメルの数の期待値の合計は、

1+5/4+5/3+5/2+5/1=137/12=11と5/12

答え 11と5/12

問2

何種類目に鈴が出てくるかによって、すべて揃うまでに５通りの変化の経路が存在します。また、何個揃ったかだけではなく、鈴があるかどうかで、次の状況に変化する確率が異なります。

最初に鈴が出る確率は 1/21 です。

最初に鈴が出るという場合について、買うキャラメルの数の期待値を計算します。最初のキャラメルを買った時点で、鈴が出て状況がかならず変化するので、状況が変化する確率は１、0種類から1種類に変化するために買うキャラメルの数の期待値は１。次に２種類目。状況が変化するのは鈴以外のいずれかが出た場合で、変化しないのは鈴が出た場合です。変化する確率は20/21 期待値は、21/20 。3種類目 変化する確率は15/21。期待値は、21/15。以下、同様にして、最初に鈴が出る場合のすべて揃うために買うキャラメル数の期待値は、1+21/20+21/15+21/10+21/5

2種類目が鈴の確率 1/16 *20/21 キャラメル数の期待値は、1+21/16+21/15+21/10+21/5

3種類目が鈴の確率 1/11* 15/16*20/21    キャラメル数の期待値は、1+21/16+ 21/11+ 21/10 + 21/5

4種類目が鈴の確率 1/6 * 10/11*15/16*20/21   キャラメル数の期待値は、1+21/16 + 21/11 +21/6 + 21/5

5種類目が鈴の確率     5/6 * 10/11*15/16*20/21 キャラメル数の期待値は、1+21/16+21/11 +21/6 + 21/1

経路別の期待値に、経路を通る確率をかけたものの総和が５つ揃えるために買うキャラメルの期待値です。

計算すると、

22.95455でした。モンテカルロ法で試すと22.9になったので計算間違いは解消したのでしょう。

約分すると505/22 つまり、

答えは22と21/22

5種類の確率をそれぞれ指定して計算するaspプログラムを作るつもりでしたが、また後で。

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