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サイアス2000/9のキャラメルの問題を解く

問1

1つ買うことで次の状態に変化する確率がpの時、期待値1/p個のキャラメルを買うことで次の状態に変化する。

0種類から5種類揃いまでの5段階における状態変化の確率は、{1,4/5,3/5,2/5,1/5}なので、買うキャラメルの数の期待値の合計は、

1+5/4+5/3+5/2+5/1=137/12=11と5/12

答え 11と5/12

問2

何種類目に鈴が出てくるかによって、すべて揃うまでに5通りの変化の経路が存在します。また、何個揃ったかだけではなく、鈴があるかどうかで、次の状況に変化する確率が異なります。

最初に鈴が出る確率は 1/21 です。

最初に鈴が出るという場合について、買うキャラメルの数の期待値を計算します。最初のキャラメルを買った時点で、鈴が出て状況がかならず変化するので、状況が変化する確率は1、0種類から1種類に変化するために買うキャラメルの数の期待値は1。次に2種類目。状況が変化するのは鈴以外のいずれかが出た場合で、変化しないのは鈴が出た場合です。変化する確率は20/21 期待値は、21/20 。3種類目 変化する確率は15/21。期待値は、21/15。以下、同様にして、最初に鈴が出る場合のすべて揃うために買うキャラメル数の期待値は、1+21/20+21/15+21/10+21/5

2種類目が鈴の確率 1/16 *20/21 キャラメル数の期待値は、1+21/16+21/15+21/10+21/5

3種類目が鈴の確率 1/11* 15/16*20/21    キャラメル数の期待値は、1+21/16+ 21/11+ 21/10 + 21/5

4種類目が鈴の確率 1/6 * 10/11*15/16*20/21   キャラメル数の期待値は、1+21/16 + 21/11 +21/6 + 21/5

5種類目が鈴の確率     5/6 * 10/11*15/16*20/21 キャラメル数の期待値は、1+21/16+21/11 +21/6 + 21/1

経路別の期待値に、経路を通る確率をかけたものの総和が5つ揃えるために買うキャラメルの期待値です。

計算すると、

場合分け その確率 その場合の買うキャラメルの期待値
鈴・・・・

0.047619048

9.75

0.464286

・鈴・・・

0.05952381

10.0125

0.595982
・・鈴・・

0.081168831

10.52159091

0.854025
・・・鈴・

0.135281385

11.92159091

1.612769
・・・・鈴

0.676406926

28.72159091

19.42748
      22.95454545

22.95455でした。モンテカルロ法で試すと22.9になったので計算間違いは解消したのでしょう。

約分すると505/22 つまり、

答えは22と21/22

5種類の確率をそれぞれ指定して計算するaspプログラムを作るつもりでしたが、また後で。

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2004/01/31更新

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